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Leonhard Euler (qui se dit oiler) est le plus productif (presque 900 textes, 30 000 pages ) des mathématiciens - physiciens,ingénieur

le plus grands des mathématiciens suisses

né le 15 avril 1707 à Bâle (Basel) sa maison natale est inconnue

Son père Paul ( 1670-1745) était un pasteur protestant ,il avait suivi durant ses études les cours de Jakob Bernoulli.

Sa mère Margaretha (1677-1761) etait fille de pasteur

Euler avait deux soeurs Anna Maria (1708-1778) mariee en 1731 à un organiste et Maria Magdalena (1711-1799) mariee à un pasteur et aussi un frère Johann Heinrich (1719-1750) qui sera peintre marié en 1746 puis remarié (sa femme mourant en accouchant)

Jusqu´ à 7 ans Euler vit au sud ouest de Basel à Riehen ; son père y est le pasteur.

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Son père fut le premier enseignant de son fils.

Il va ensuite chez sa grand mère à Basel , pour aller à l´ ecole.

Johannes Burchkardt (1691-1743) fut son deuxième important enseignant

A 13 ans il entre à l´université (cet âge n´etait pas exceptionnel à l´époque)

Son pére voulait quíl soit pasteur mais Jean Bernoulli lui dit que son fils serait un grand mathématicien.

En 1720 Il fut l’élève de Jean Bernoulli qui lui préta des livres et lui donna les explications quíl lui manquait dans des cours particuliers le samedi après midi.Euler devint l´ami des fils de Jean Bernoulli.

Daniel bernoulli (fils de Jean) qui était à St Petersbourg proposa Euler pour le département de physiologie (!) de l´Académie crée en 1725

Euler accepte et pendant l´hiver étudie l´anatomie.

En 1726 il part pour St Pétersbourg , auprès de Daniel Bernoulli où il habita jusqu’à son mariage.

Il quitte Basel le 5 avril prend le bateau sur le Rhin puis la diligence jusqu´à Lubeck puis le bateau sur la mer (où il a le mal de mer)

pour arriver le 17 mai à st Pétersbourg .

Il y apprend le russe.

Il passe de la médecine au département de mathématique de l´Académie russe

1730 fonction gamma pour interpoler la factorielle aux réels ;

Et fonction Béta (notation pour gamma du à Legendre en 1809 et à Binet pour Beta 1839)

il a un problème à son oeil droit ; une infection lui abime son oeil.

En 1733 Daniel Bernoulli retourne à Basel et Euler lui succède

En 1734 le 7 janvier , à l’age de 27 ans il épouse Katharina Gsell (1707-1773),fille de un peintre suisse;en novembre il a son premier fils Johan Albrech qui plus tard deviendra son assistant lorsqu´il fut aveugle; il eut 13 enfants mais seuls 5 devinrent adultes (3 garçons , 2 filles)

1734 equation aux derivées partielles

En 1735 e n´est pas rationnel par les fractions continues .

Il trouve la somme des inverses des carrés , problème posé par Jacob Bernoulli en 1689 (il trouve le résultat mais ce n´est pas rigoureux)

http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e041tr.pdf

1736 problème des ponts de Königsburg ville natale de David Hilbert ; début de la théorie des graphes

1736 traité de Mecanique . dynamique de Newton grâce au calcul differentiel et integral

Comparaison série intégrale créditée aussi à Mac Laurin

1737 la constante d´Euler publié en 1740 ; il calcula 15 decimales

∑ (1/n^s) = ∏ (1 - p^-s)^-1

En 1738 il perdit presque son oeil droit à la suite d´une congestion cérébrale (trop de travail et infection)

Il démontre la conjecture de fermat pour n=3;il reçoit le premier prix d el’Académie de Paris sur les marées

En 1739 article sur les courbes dont la développée est semblable à la courbe E129 (en latin) publié en 1750

En 1741 il part pour l´Académie deBerlin à la demande de Fréderic II qu‘ il ne rencontra qu´en 1749 et avec qui il ne s´ entendit pas bien;

il gagnait au début 1600 thalers; il a cheta une belle maison avec jardin pour 2000 thalers.

il fut le professeur de la nièce de Frédéric II ;en 1760-62 il écrivit en français „les lettres à une princesse d’Allemagne „sur la physique et philosophie ; livre qui eut un grand succès

il démontre le petit théorème de Fermat si p premier p divise a^p-a

En 1743 publication d’une démonstration la somme des inverses des carrées

Il développe en série entière arcsin(x) puis il intègre entre 0 et 1 arcsin(x)/ et calcule par récurrence

puis en permutant les symboles il déduit la some des inverses des carrés des impairs d’où suit le résultat c’est le papier E63

1744 Calcul des variations ; spirale d‘Euler dite de Cornu en France

premier développement en serie de Fourier de (π-x)/2= S sin(nx)/n

1744 il trouve =ln(2) et puis ; publié en 1775

Voir en 1774

1747 un nombre parfait pair est de la forme 2^n-1(2ⁿ-1) avec 2ⁿ-1 premier (Dans Euclide on trouve que de tel nombres sont parfaits, Euler a démontrer la réciproque) Ce résultat fut publié en 1849 E798 en latin sur le résultat d‘Euler en français : http://mathtous.perso.sfr.fr/articles/Nbparfaits.pdf

1748 publication de son introduction au calcul différentiel avec e et des formules célèbres

comme exp(ix)=cos(x)+i sin(x) la formule considérée en 1988 après un vote comme la plus belle formule d’après The Mathematical Intelligencer

http://eulerarchive.maa.org/pages/E101.html

dans le tome 2 :geometrie analytique et classifications des coniques et des quadriques

1749 traité de science navale

1749 caractérisation des nombres premiers somme de 2 carrés , enoncé par Fermat

http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0852.pdf

1750 publication d’un article sur les nombres amiables E 152, écrit en 1747.

l’antiquité connaissait 220 et 284, Fermat trouva une paire puis Descartes une paire en 1738 total 3 paires;

Euler en trouva plus de 50, voir fin de son article en latin.

1750 la formule S-A+F=2 S sommets, A arètes, F faces dans elementa doctrinae solidorum E230 publiée en 1758

deuxième plus belle formule d’après The Mathematical Intelligencer 1988.

A= numerum acierum= nombre de lignes ( acies arêtes) , S=sommet (angle du solide) hedra (du grec pour face d’un corps géométrique)

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1753 Nombre de dérangements dn (permutation sans points fixes) et probabilité dn/n! tend vers 1/e

Montmort avait trouvé ce résultat sans le montrer en 1710 ;Nikolas Bernoulli l’avait démontré ,publié en 1713

Voir http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/spip.php?article468

1755 hydrodynamique ;

Traite de Calcul différentiel , equations différentielles dont x² y´´+axy´+by=0;

on doit à Euler l´equation carateristique et à Laplace la variation des constantes

1763 indicateur d´Euler ; distance entre les centres des cercles inscrits et circonscrit , droite d ´Euler publié en 1767 (il calcule les distances de O,G,H en fonction des cotes du triangle puis il cacule les distances entres ces 3 points ,il remarque que HO=3HG/2 et GO=HO/2 et que O est sur (HG) )

Sa méthode est analytique (Euler est plus analyste comme Lagrange , que géomètre)

http://www.maa.org/editorial/euler/HEDI%2063%20Euler%20line.pdf

1765 theorie du mouvement des solides où il introduit le moment d’inertie au chapitre 3; défini au chapite 5 et des exemples de calculs au chapite 6

E289 Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum written 1760, presented 1765

En 1766 après une dispute avec Frederic II il retourne en Russie où il est acceuillit comme un prince par Catherine II ;

c´est Lagrange qui lui succédera à l´académie de Berlin

En 1767 il dicte sa biographie en 2 pages à son fils ainé

1768-1770 traité de calcul integral

http://www.17centurymaths.com/

Dans ce traité il décompose les fractions pour les intégrer (idée connue par Newton et Bernoulli)

Dans le volume 9 §8 il déduit de ses décompositions en éléments simples

l’intégrale si m-1 < n

puis il déduit l’intégrale par le changement de variable x=

( la notation avec les bornes est de Fourier en 1820-22 )

c’est Euler qui intègre les fractions en sinx , cosx par le changement de variable t=tg(x/2) volume1 §5

Quant à la règle de Bioche cela provient de Charles Bioche (1859-1949) professeur agrégé en 1884 , enseignant au lycée Louis le grand de 1897 à sa retraite en 1925 ; il fut le président de la société mathématique de france en 1909 ; il se considérait comme un mathématicien du n ième ordre mais qui avait fait quelques trouvailles qui lui avaient bien fait plaisir. En 1902 il publie sa règle pour résoudre des équations trigonométriques.

1768 approximation des solutions des équations différentielles d’ordre 1

1768 Il trouve grâce à des séries publié en 1769-1770 en allemand E393 l’original E393

Il étudie les nombres de bernoulli qui sont aussi liés au développement de x/(1-e^-x ) , cotg(x) et ln(sinx /x )

On peut montrer ce résultat simplement mais astucieusement en utilisant ln(sin(2x)) et les symétries des fonctions sin, cos

1769 optique

1770 publication de son traité d´algébre qui eut beaucup de succès par sa clarté

Démontre le cas n=3 de Fermat ; sa première démonstration (1753) était fausse car il supposait Z[i] factoriel

En 1771 Il perdit presque son oeil gauche (cataracte et suite á une opération) et fut presque aveugle mais il avait une très grande mémoire et ne ralentie pas son travail .

Son fils ainé l´aida et lui servit de secrétaire ainsi que Niklauss Fuss qui fut l’epoux de sa petite fille.

Sa maison brûle;

En 1772 il découvre la réciprocité quadratique, retrouvé par legendre et démontré par Gauss l ´autre calculateur prodige

2 ième theorie de la lune

1773 2 ieme theorie sur les bateaux

1773 il perd sa femme et se remarie en 1776 avec la belle soeur de sa défunte épouse

1774 il donne plusieurs méthodes pour montrer ; et il calcule aussi d’autres intégrales cf E475

La méthode de 1744 pour calculer est de remplace ln(x) par la limite de n ( exp(ln(x)/n) -1)

Puis pour calculer il pose t=x^1/n d’où =

Ce qui avec H_n –Ln(n) converge (constante d’euler) on trouve que la limite est Ln2

Autre méthode de 1774 x^m=exp(mln(x)) qu’il développe en série entière S (mLn(x))ⁿ/n! d’où en retranchant 1 et divisant par Ln(x)

Puis en intégrant sachant que

on déduit que ===ln(m+1)

Il calcule aussi l’intégrale par permutation d’intégrales

Remarquons qu’on peut aussi considérer F(m)= et dériver F‘(m) ==1/(m+1) et f(1)=0

1776 il retrouve les intégrales

Pour cela il pose t= puis développe en série entière ln(1-t²) , intègre en utilisant (intégrale de wallis)

D’où pour l’intégrale une série S = ; il développe en série entière , divise par 1/x

Il calcule en posant u=; d’où une égalité à une constante C près

entre et Il trouve C avec x®0 puis x ®1 lui donne le résultat.

Ensuite il donne une autre solution en montrant que Ln(sin(x)) = C - (en dérivant et donc en utilisant des séries qui ne convergent pas) , pour trouver C il prend x=p/2 Puis il intègre et retrouve le résultat

1777 Etude de la suite u_n+1 = problème de Condorcet E 489 Opera Omnia: Series 1, Volume 15, pp. 268 – 297

Ecrit en mai 1777 mais publié en 1794, Euler utilise i pour la racine de -1. Gauss l’utilisera aussi.

1779 formules de récurrence sur les dérangements déjà étudiée en 1753;

Euler a trouvé plusieurs résultats sur les probabilités durant sa vie voir 338 412 813

(voir pour Euler et les probabilités Richard J. Pulskamp , Probability & Statistics, avec traduction en anglais translation )

Toujours en 1779 il trouve une solution analytique du problème d’appolonius consistant à trouver un cercle tangent à 3 autres cercles E648

Voir aussi la biographie de Viète

En 1779 il trouve aussi arctg(t) = qui avec 1 donne p/2=

Ou avec t=1/ 2p /3 = E 705 publié en 1798

Il part de la série entière s donnant arctg et calcule s+t²s , puis recommence

Voir niveau 2 série entière

1783 il meurt le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg ,sans souffrir ,d´une seconde congestion cérébrale;

il avait 76 ans et demi

Il avait 26 petits- enfants

Après sa mort on publiera encore de nombreux d’articles d ‚ Euler!

Eloge d’Euler par Condorcet

à 71 ans

tombe à St Pétersbourg dans le monastère Alexandre Nevski

Comme pour Gauss c´est un collègue d´Euler , Niklauss Fuss qui à l´occasion de sa mort nous donne une biographie et nous permet de connaitre l´homme Euler

Si vous voulez la lire (en anglais)

Euler était modeste, joyeux, sociable,aimant les enfants ,aimable ,honnête, droit ,pas rancunier ,il avait une très très grande mémoire comme Gauss, doué pour les langues comme Gauss ;Euler avait une grande capacité de travail et de concentration (il était capable d´ecrire ses articles entouré de ses enfants),s‘il pouvait s´enerver il se calmait rapidement et riait de son emportement.Il avait une vaste culture en histoire , connaissant les auteurs antiques.Il parlait allemand, russe, français,écrivait en latin, lisait l’anglais.

Il mena une vie aisée sans problèmes d`argent. Le seul sujet sur lequel on ne pouvait plaisanter était le religion,il était calviniste dévot!

Oeuvre d’Euler : l’oeuvre d’Euler est surtout en latin; mais vous pouvez voir certaines traductions en anglais sur euler archiv

En tout cas on pourra voir une masse de calculs ,de découvertes ,même si ce n’est pas toujours rigoureux;vous pourrez comprendre la citation de Condorcet disant lorsqu‘ Euler est mort : „ il cessa de calculer et de vivre“

http://www.math.dartmouth.edu/~euler/

http://www.eulerarchive.org/

http://www.17centurymaths.com/contents/eulercontents.html

Sur Gallica : http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_EULER_1_12

http://portail.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_EULER_1_8

références en français :